受鸟群觅食行为的协作式随机搜索策略启发，粒子群优化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法已在众多工程领域获得应用。在硅基光子学领域，PSO算法展现出其多样功能，可应用于器件的逆向设计、波导参数提取、器件布局优化等场合。然而，在传统的PSO算法中，粒子群易陷入局部最优无法逃逸。这要求研究人员频繁调整算法参数，过程繁琐且耗时。有鉴于此，北京邮电大学集成电路学院团队提出了一种改进的PSO算法。该算法可有效增强粒子群跳出局部极值的能力，同时显著提升了群体寻找全局最优的效率。基于这一改进PSO算法，该团队设计实现了模式转换器、多模弯曲波导等紧凑硅光器件，并展示了其在提取硅脊波导的有效折射率、群折射率以及截面几何参数方面的应用，验证了该算法在硅光设计与参数表征方面的效果。算法原理简介
粒子群优化算法由 J. Kennedy 和 R. Eberhart于1995年首次提出，是一种启发式优化算法，其灵感来自鸟类在给定空间内的觅食行为[1]。在PSO算法中，一只鸟被抽象为一个粒子，它根据自己的经验和其他粒子共享的信息调整自己的位置。
（1）
（2）
其中， v是该粒子的速度，k是粒子序号，ω是惯性系数，c1和 c2是算法参数，通常取2。r1和r2是位于区间[0， 1]的随机数。pbest是个体历史最优位置，gbest是群体历史最优位置，x是粒子当前位置。
从上述公式可以看出，在算法的迭代过程中，如果寻找到的gbest是一个局部最优的位置，那么公式（1）中的第三项会将所有粒子拉向该位置，进而导致粒子的pbest和gbest逐渐重合。如果在这个过程中粒子群没有找到新的最优位置，那么粒子的速度会逐渐降低直至收敛在局部最优。在硅光器件的逆向设计中，由于优化的变量通常较多，因此会存在大量的局部最优。此时采用PSO算法需要反复调整算法参数，才有可能找到最优的结构。针对这个问题，上述团队对算法公式进行修正，改善后的公式如下：
（3）
(4） 
（5）其中，α为群体经验权重，r是位于区间[−1， 1]的随机数，R是随机数的振幅，通常取值为最大速度的一半。通过在速度中引入不受群体经验和个体经验影响的随机数，避免了算法陷入局部最优无法逃逸的问题。同时，群体经验权重的引入，赋予不同粒子不同的搜索范围，可以兼顾算法的全局搜索能力和局部搜索能力，提高算法搜索全局最优的效率。为了直观对比传统PSO和改进PSO算法的搜索能力，这里设计了具有局部最优的测试函数。在初始条件完全相同的情况下，分别采用传统算法和改进算法进行搜索，各自的寻优过程如图1（a）与1（b）所示。可以看到，传统PSO算法会陷入中间的局部最优位置，而改进PSO算法能够从该局部最优跳出，寻找到全局最优。图1（b）中的粒子群并未收敛到一个点，是因为这里的最优区域具有较平的顶部。此外，改进算法中的随机因子在发生作用。在PSO优化算法的应用中，一般只关注取到最优值的粒子，不需要全部粒子收敛到同一个极值。
图1：采用两种算法搜寻测试函数最大值过程图。（a）传统PSO算法，（b）改进的PSO算法。
硅光器件的逆向设计
光子器件逆向设计是近些年兴起的一种设计方法。有别于传统光子器件设计依赖确知的理论模型与有限的设计参数，逆向设计淡化了理论模型的构建，通过赋予光子设计更高的形状与参数自由度来寻找紧凑的多功能器件，便于挖掘非典型形状或新颖结构的潜在优势。硅光器件具有高折射率差带来的小型化优势，逆向设计可进一步加强这一优势。算法是逆向设计的核心，可大致分为梯度算法、群体智能算法和神经网络算法三类。梯度算法中具有代表性的是伴随算法，通常需要结合水平集方法等辅助手段进行设计，算法较为复杂且对算法参数较为敏感，并且依赖于算法的初始位置，容易陷入局部最优。神经网络算法通常需要上千个甚至上万个样本进行训练。所提出的改进的粒子群算法属于群体智能算法，原理简单易懂，不依赖于算法的初始位置，具有跳出局部最优的能力，而且一般在一千次迭代内即可寻得最优结构，较另外两种算法更具优势。TE0-TE1模式转换器
多模复用（Mode division multiplexing， MDM）是波分复用（Wavelength division multiplexing， WDM）的重要补充，可以在有限的芯片面积内实现更高的信息传输密度。模式转换器是MDM技术的重要单元器件。该团队采用所提出的改进PSO算法设计了一种基于绝缘衬底上硅（Silicon-on-insulator， SOI）材料的紧凑的模式转换器（TE0-TE1），器件顶视图与截面结构如图2所示。
图2：硅基TE0-TE1模式转换器结构示意图图2中的设计区域大小为1 μm × 2 μm，以50 nm × 50 nm为单元划分为800个网格。通过改进的PSO算法搜索800个网格的最优折射率配置。为了证明算法的搜索能力，首先允许每个网格的折射率在硅与二氧化硅之间连续变化。在寻找到最优结果后再进行材料折射率离散化，并再次用该算法进行搜索。仿真设计结果如图3所示。该器件的最终模式转换效率为95.1%，插入损耗约为 0.2 dB，模式间串扰小于−18.4 dB。
图3：利用改进PSO算法得到了模式转换器的 （a）、（b）连续折射率和（c）、（d）离散折射率情形下，材料折射率分布和电场分量（Ey）分布弯曲波导
低损耗弯曲波导是实现硅光集成芯片（Photonic integrated circuit， PIC）大规模集成的核心单元。传统的弯曲波导往往基于已知的函数形式，如欧拉螺线、贝塞尔曲线等，这限制了弯曲波导设计的自由度。尤其是在多模波导弯曲设计中，已知函数的有限参数空间使得弯曲波导优化受到限制。该团队提出利用三次样条插值方法刻画弯曲波导的边缘，提高了弯曲波导设计的自由度。结合上述改进PSO算法，设计了一系列低损耗、小半径的多模弯曲波导。
图4：弯曲波导结构示意图弯曲波导的结构如图4所示。在弯曲波导内侧和外侧曲线各取几个点，再分别利用三次样条插值拟合内外曲线，获得弯曲波导的结构。考虑到该结构关于角平分线的对称性，只取一半的点即可。利用该方法设计了半径2.5 μm的单模式、4 μm的双模式、5 μm的三模式弯曲波导，每90°测量值（仿真值）插入损耗分别小于0.012 dB （0.009 dB）、0.04 dB （0.028 dB）和0.059 dB （0.048 dB）。后两个多模弯曲波导的每90°模间串扰测量值（仿真值）分别小于−23.6 （−36.1） dB和−19.7 （−26.5） dB，相关仿真与测量结果如图5至图7所示。
图5：半径2.5 μm的单模弯曲：（a）电场图，（b）显微镜图（其中红色虚线为标准圆弧），（c）仿真和测试结果图。
图6：半径4 μm的双模弯曲：（a）TE0模式电场图，（b）TE1模式电场图，（c）显微镜图（其中红色虚线为标准圆弧），（d）仿真和测试结果图。
图7：半径5 μm的三模式弯曲：（a）TE0模式电场图，（b）TE1模式电场图，（c）TE2模式电场图，（d）显微镜图，（e）仿真和测试结果图。波导参数提取
在完成器件设计，交付加工取得芯片之后，获得芯片关键设计参数、真实几何参数对评估器件一致性、考量工艺精度有着重要意义。上述团队利用改进的PSO算法实现了对顶层硅厚度220 nm的SOI脊型波导（平板区设计值为70 nm，波导宽度设计值为450 nm）的有效折射率（neff）、群折射率（ng）以及波导截面进行了提取。利用两个弯曲波导半径相同、直波导长度不同的跑道型微环谐振器，实现有效折射率、群折射率（图8中Step One）以及波导截面（图8中Step Two）提取。
图8：波导参数提取流程图。具体地，首先获得两个不同周长跑道型微环的下载端传输光谱。然后利用改进PSO算法搜寻有效折射率（由三次多项式描述），以其计算两个微环的光谱，并与测试结果进行比对。将二者谐振波长之差的绝对值之和作为算法的品质因数（Figure of merit， FOM）。考虑到测量误差（实验中器件谐振峰位置的确定存在不确定性），算法将FOM小于单个谐振峰光谱半高全宽（Full width at half maximum， FWHM）的结果记录下来，作为备选结果。利用筛选出的neff函数计算出ng，与实测的自由光谱区（Free spectral range， FSR）数据计算的ng对照，筛选出最优结果，获得最大似然的波导neff和ng。两个跑道型微环的算法拟合光谱和实际测试光谱如图9所示。
图9：两个跑道型微环的计算光谱和测试光谱对比图在通过改进PSO算法获得最大似然的波导neff和ng后，通过同一算法搜索波导截面几何参数。其基本思想是，在工艺误差容许的范围内，计算各种不同的波导截面的neff，与上一步获得的neff对比，寻找neff吻合程度最高的波导结构。为了验证该方法的准确性，其采用扫描透射电子显微镜（Scanning transmission electron microscope，STEM）测量了波导截面（图10），并与算法计算结果进行对比（图11）。对比结果显示，neff和ng误差在10−3左右，波导截面尺寸误差小于1%。
图10：使用STEM获得的实际波导截面（深灰区域）和算法获得的波导截面（红色）对比图。
图11：利用STEM截面仿真得到的与用算法获得的截面的 （a） 有效折射率和 （b） 群折射率的对比图。结论
粒子群优化算法自提出以来，凭借其简洁性与普适性，在各类优化问题中展现出强大生命力，单篇文献已获3万余次引用。北京邮电大学团队针对传统PSO算法用于硅光器件设计易陷入局部最优的局限性，进行了改进。该改进的PSO算法不仅保留了原算法的简洁与通用优势，克服了传统算法难以逃离局部最优的缺陷，而且免于监控算法运行过程及手动调整参数，减轻了设计人员的负担，为硅光逆向设计初学者提供了简便易用的工具。在器件设计之外，该团队还展示了利用该算法实现SOI脊波导有效折射率、群折射率的提取，以及波导截面的非侵入式表征，为硅光器件参数提取、工艺监测、良率评估提供了一种简便、高效的手段。
参考文献
[1]J. Kennedy and R. Eberhart, "Particle swarm optimization," Proceedings of ICNN'95 - International Conference on Neural Networks, Perth, WA, Australia, 1995, pp. 1942-1948 vol.4, doi: 10.1109/ICNN.1995.488968.
[2]E. Zhang et al., "Improved particle swarm optimization with less manual intervention for photonic inverse design," in IEEE Photonics Technology Letters, vol. 35, no. 24, pp. 1355-1358, 15 Dec.15, 2023, doi: 10.1109/LPT.2023.3325635.
[3]E. Zhang, S. Yang and L. Zhang, "General waveguide bend design based on cubic spline interpolation and inverse design," in Journal of Lightwave Technology, vol. 42, no. 13, pp. 4614-4625, 1 July1, 2024, doi: 10.1109/JLT.2024.3370675.
[4]E. Zhang, X. Zhu, and L. Zhang, "Effective and group refractive index extraction and cross-sectional dimension estimation for silicon-on-insulator rib waveguides," Opt. Express, vol. 32, no 18, pp. 31375-3138832, 2024, doi: 10.1364/OE.534015.
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